Περνάμε τον τόνο για 2 λεπτά από το τηγάνι και στη συνέχεια ψιλοκόβουμε.
Σε ένα τηγάνι βάζουμε το 1/3 βούτυρο και σοτάρουμε τα κρεμμύδια, τα σκόρδα και τις πιπεριές για μερικά λεπτά.
Προσθέτουμε τα μανιτάρια και αφήνουμε να τσιγαριστούν για ακόμη λίγο.
Απομακρύνουμε το τηγάνι από τη φωτιά, προσθέτουμε τον τόνο, αλάτι, πιπέρι και άνηθο.
Ακολούθως σε μία κατσαρόλα λιώνουμε το υπόλοιπο βούτυρο και προσθέτουμε το αλεύρι.
Ανακατεύουμε για 1 λεπτό και προσθέτουμε το γάλα, αλάτι και πιπέρι.
Αφήνουμε την κρέμα να βράσει ανακατεύοντας συνεχώς μέχρι να πήξει.
Στη συνέχεια βάζουμε μία κουταλιά από τη κρέμα στο μείγμα τόνου για να δέσει.
Γεμίζουμε τα κανελόνια και τα τοποθετούμε σε ταψί ή πυρίμαχο σκεύος.
Τέλος, ρίχνουμε τη κρέμα πάνω στα κανελόνια, πασπαλίζουμε με την παρμεζάνα και ψήνουμε σε προθερμασμένο φούρνο στους 190 °C για περίπου 30 λεπτά ή μέχρι τα κανελόνια μας να ροδίσουν.