Ετοιμάζουμε τη ζύμη: Σε ένα μπολάκι βάζουμε το γάλα. Θρυμματίζουμε τη νωπή μαγιά με τα δάχτυλα και τη ρίχνουμε στο γάλα. Ανακατεύουμε καλά με ένα πιρούνι, μέχρι η μαγιά να διαλυθεί και να αφρίσει. Σε ένα μεγάλο μπολ ρίχνουμε το αλεύρι, το βούτυρο και ελάχιστο αλάτι. Προσθέτουμε το μείγμα μαγιάς και ανακατεύουμε με τα χέρια καλά μέχρι τα υλικά να ενωθούν. Σε ένα μπολάκι χτυπάμε τα αυγά και τα ρίχνουμε στο αλεύρι. Ζυμώνουμε καλά το μείγμα, μέχρι να γίνει ομοιόμορφο. Σκεπάζουμε το μπολ με πετσέτα και το αφήνουμε στην άκρη σε ζεστό μέρος μέχρι να φουσκώσει η ζύμη για περίπου 40 λεπτά.
Ετοιμάζουμε τη γέμιση: Σε ένα μεγάλο μπολ ανακατεύουμε τα τυριά.
Προθερμαίνουμε τον φούρνο στους 200°C. Βγάζουμε τη φουσκωμένη ζύμη από το μπολ, την βάζουμε πάνω σε μια αλευρωμένη επιφάνεια και τη χωρίζουμε σε ίσα κομμάτια (η ποσότητα ποικίλλει ανάλογα με το πόσο μεγάλα πεϊνιρλί θέλουμε να φτιάξουμε). Ανοίγουμε το ένα κομμάτι με τον πλάστη σε ορθογώνιο κομμάτι ζύμης με πάχος περίπου 0,5 εκ. και διαστάσεις της επιλογής μας, ανάλογα αν θέλουμε να φτιάξουμε μεγάλα ή μικρά πεϊνιρλί. Με το δεξί χέρι φέρνουμε κοντά και σφίγγουμε τις δύο δεξιές στενές άκρες του φύλλου. Κάνουμε το ίδιο με το αριστερό χέρι κάνετε στις αριστερές άκρες. Φτιάχνουμε μια «βάρκα», το χαρακτηριστικό σχήμα των πεϊνιρλί. Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία με τα υπόλοιπα κομμάτια ζύμης. Μοιράζουμε στα πεϊνιρλί το μείγμα τυριών. Λαδώνουμε ελαφρώς ένα μεγάλο ταψί ή μια λαμαρίνα φούρνου και βάζουμε προσεκτικά τα πεϊνιρλί, το ένα δίπλα στο άλλο. Αλείφουμε τα πεϊνιρλί με λίγο ελαιόλαδο και ψήνουμε στη μεσαία σχάρα του φούρνου για 30-35 λεπτά μέχρι να ροδίσουν.