Βουτυρώνουμε και αλευρώνουμε μια μακρόστενη φόρμα του κέικ και προθερμαίνουμε το φούρνο στους 160°C-170°C. Σε ένα μπολ ανακατεύουμε τα αβγά με τη ζάχαρη προσθέτοντας και το γάλα. Συνεχίζουμε ρίχνοντας τις πολτοποιημένες μπανάνες και στο τέλος το αλεύρι μαζί με το μπέικιν πάουντερ. Αφού ενσωματωθούν στο μείγμα, ρίχνουμε και τη βρώμη και ανακατεύουμε καλά. Αδειάζουμε το μείγμα στη βουτυρωμένη φόρμα και πασπαλίζουμε την επιφάνεια με επιπλέον νιφάδες βρώμης. Ψήνουμε στον προθερμασμένο φούρνο για 60 λεπτά μέχρι να ροδίσει και να φουσκώσει. Το αφήνουμε να κρυώσει ελαφρώς πριν ξεφορμάρουμε.