Σε κατσαρολάκι σε δυνατή φωτιά λιώνουμε 2 κ.σ. βούτυρο. Προσθέτουμε το αλεύρι και ανακατεύουμε με το σύρμα μέχρι να πάρει χρυσό χρώμα. Προσθέτουμε το γάλα και το αλάτι. Ανακατεύουμε καλά μέχρι να πήξει η μπεσαμέλ, για περίπου 2 λεπτά. Αποσύρουμε από την φωτιά, προσθέτουμε το τριμμένο μοσχοκάρυδο και τη μισή ποσότητα τυριού. Ανακατεύουμε να ομογενοποιηθεί η μπεσαμέλ.
Απλώνουμε σε δύο φέτες ψωμί μπεσαμέλ και στις άλλες δύο φέτες μουστάρδα. Καλύπτουμε με το ζαμπόν και το τυρί. Κλείνουμε τα σάντουιτς.
Σε τηγάνι σε μέτρια φωτιά βάζουμε το 2 κ.σ. βούτυρο και μόλις λιώσει βάζουμε τα σάντουιτς. Ψήνουμε την κάθε πλευρά μέχρι να πάρει χρώμα, για περίπου 3-4 λεπτά την κάθε πλευρά. Αποσύρουμε από την φωτιά και βάζουμε τα σάντουιτς σε ταψάκι στρωμένο με λαδόκολλα. Απλώνουμε πάνω στο κάθε σάντουιτς την υπόλοιπη μπεσαμέλ και ψήνουμε σε προθερμασμένο φούρνο στους 160οC, για περίπου 5 λεπτά, μέχρι να κάνει κρούστα η μπεσαμέλ.
Στο μεταξύ, στο ίδιο τηγάνι βάζουμε 1 κ.σ. βούτυρο και όταν κάψει σπάμε τα αυγά. Τα τηγανίζουμε και καλύπτουμε με αυτά τα σάντουιτς. Σερβίρουμε αμέσως.