Βάζουμε πρώτα τις πατάτες να βράσουν σε μια μεγάλη κατσαρόλα με νερό. Στο μεταξύ, ζεσταίνουμε λίγο ελαιόλαδο σε φαρδιά κατσαρόλα και σοτάρουμε τον κιμά, το κρεμμύδι και το σκόρδο, μέχρι να αλλάξει χρώμα ο κιμάς. Προσθέτουμε τον ζωμό και όλα τα υπόλοιπα υλικά. Αφήνουμε τον κιμά να σιγοβράσει για 10-12 λεπτά περίπου, να μείνει με τη σάλτσα του. Αποσύρουμε από τη φωτιά κι απλώνουμε τον κιμά στον πάτο ενός πυρέξ ή άλλου μέτριου ταψιού.
Περνάμε τις πατάτες από τη μηχανή του πουρέ και τις ρίχνουμε σε άλλη κατσαρόλα, όπου έχουμε ζεστάνει το βούτυρο. Ανακατεύουμε και προσθέτουμε όλα τα υπόλοιπα υλικά του πουρέ εκτός από το αυγό και το τυρί. Ανακατεύουμε μέχρι να πάρουμε έναν βελούδινο πουρέ. Τον κατεβάζουμε από τη φωτιά και προσθέτουμε το αυγό και το τριμμένο τυρί εάν βάλουμε. Απλώνουμε τον πουρέ στο πυρέξ πάνω από τον κιμά και κάνουμε σχέδια με πιρούνι. Εάν θέλουμε μπορούμε να βάλουμε τον πουρέ σε σακούλα ζαχαροπλαστικής και να κάνουμε σχέδια με το κορνέ. Ψήνουμε σε καλά προθερμασμένο φούρνο στους 180 βαθμούς για 45 λεπτά περίπου, μέχρι να ροδίσει όμορφα ο πουρές μας. Αφήνουμε το φαγητό να κρυώσει λίγο, για 15-20 λεπτά περίπου, πριν το σερβίρουμε.
Tip: Μπορούμε να πασπαλίσουμε την πίτα πριν την βάλουμε στο φούρνο με λίγη τριμμένη φρυγανιά ή τριμμένη γραβιέρα ή άλλο τυρί της αρεσκείας μας.