Για να φτιάξετε τη ζύμη, βάζετε το αλεύρι, το αλάτι και το κρύο βούτυρο σε επεξεργαστή τροφίμων και αλέθετε για λίγα δευτερόλεπτα. Προσθέτετε λίγο-λίγο το νερό και συνεχίζετε να κτυπάτε για ακόμη 10 δευτερόλεπτα. Αν χρειάζεται προσθέτετε ακόμη λίγο νερό.
Μεταφέρετε τη ζύμη σε αλευρωμένη επιφάνεια, ζυμώνετε σε μια ομοιόμορφη μπάλα και με τον πλάστη, ανοίγετε μακρόστενο φύλο. Μεταφέρετε τη ζύμη σε ταψί στρωμένο με λαδόκολλα και την τοποθετείτε στο ψυγείο για περίπου μισή ώρα.
Προθερμαίνετε το φούρνο στους 200°C. Βγάζετε τη ζύμη από το ψυγείο. Αλείφετε τη βάση στο κέντρο της ζύμης με το sour cream και προσθέτετε λίγο πιπέρι. Απλώνετε από πάνω τα μανιτάρια, μετά τις αγκινάρες και μετά την πιπεριά. Πασπαλίζετε με την μοτσαρέλλα και αλατοπιπερώνετε. Διπλώνετε τις άκρες της ζύμης και στις 4 πλευρές προς τα μέσα για να σχηματίσετε το πεϊνιρλί σας. Αλείφετε με το κτυπημένο αυγό και ψήνετε στο φούρνο για περίπου 40 λεπτά.
Όταν το πεϊνιρλί ψηθεί, το αφήνετε να κρυώσει για περίπου 15 λεπτά, βάζετε από πάνω τη ρόκα και την παρμεζάνα και το κόβετε σε τρίγωνα κομμάτια.