Βουτάμε το κρέας σε βραστό νερό και αφήνουμε να πάρει βράση μέχρι να βγάλει αφρό. Το στραγγίζουμε και το πλένουμε με κρύο νερό. Το αφήνουμε στην άκρη.
Σοτάρουμε το κρεμμύδι στο λάδι μέχρι να μαλακώσει και προσθέτουμε το κρέας. Σοτάρουμε μέχρι να πάρει χρώμα το κρέας και προσθέτουμε 1½ φλιτζάνι νερό. Αφήνουμε να βράσει για 20 λεπτά περίπου.
Προσθέτουμε το σέλινο, τον άνηθο, αλάτι και πιπέρι. Σιγοβράζουμε το φαγητό για 25-30 περίπου λεπτά μέχρι να γίνει το κρέας και να μαλακώσει το σέλινο. Αν χρειαστεί, προσθέτουμε λίγο νερό κατά τη διάρκεια του βρασίματος. Πρέπει να μείνει περίπου ενάμισι φλιτζάνι σάλτσα στο τέλος. Αφαιρούμε όσο ζωμό μπορούμε από την κατσαρόλα και τον φυλάμε στην άκρη.
Ετοιμάζουμε το αβγολέμονο: Χτυπάμε τα αβγά στο μίξερ και προσθέτουμε το λεμόνι. Σιγά σιγά προσθέτουμε το ζωμό από την κατσαρόλα χτυπώντας συνεχώς το μίγμα. Περιχύνουμε το φαγητό και βάζουμε την κατσαρόλα σε χαμηλή φωτιά κουνώντας την κατσαρόλα πίσω μπρος για να πάει παντού η σάλτσα και να πήξει. Όταν αρχίζει να βράζει σβήνουμε τη φωτιά για να μην κόψει το αβγολέμονο.